Lineare Algebra Beispiele

$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 2$ , $- \frac{10}{x} + \frac{9}{y} = - 8$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1} & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Dividiere $2$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \cdot 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.4

Dividiere $10$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 1 \cdot 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.6

Dividiere $9$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.7

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{2}{2} \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Schritt 2.8

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & 9 + 10 (- \frac{3}{2}) & - 8 + 10 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & - 6 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.9

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.9.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 2.10

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.10.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 1 + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 2.10.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} \end{array}]$